§8.4 全微分

从一元微分到全微分 → 可微的充要条件（偏导数连续）→ 可微性判定步骤 → 全微分与原函数

一、一元函数的微分（回顾）

定义

$y=f(x)$ 在 $x_0$ 的增量可表示为：

则称 $f$ 在 $x_0$ 可微，$A\Delta x$ 称为微分：$dy=Adx$（$dx=\Delta x$）。

充要条件

定理：一元函数可微 ⇔ 可导，且 $dy=f^{\prime }(x_0)dx$。

几何意义

$f(x)$ 在 $x_0$ 可微 ⇒ 在 $x_0$ 附近，曲线可用切线近似代替：

二、全微分的定义

从一元到二元的推广

一元：$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$（切线近似）

二元：$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$（切平面近似），其中 $\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$。

🧠 直觉：一元微分 = 用直线局部近似曲线。二元全微分 = 用平面局部近似曲面。

精确定义

设 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内偏导数存在。若全增量可表示为：

其中 $\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$，则称 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微。

全微分定义：

由于 $dx=\Delta x,dy=\Delta y$，常写作：

在区域上可微：若 $f$ 在 $D$ 内每一点均可微，则称 $f$ 为 $D$ 内的可微函数。

例：已知 $f$ 的全增量 $\Delta z=2\Delta x+3\Delta y+o(\rho )$，求 $f_x^{\prime },f_y^{\prime }$。

由定义：$f_x^{\prime }=2,f_y^{\prime }=3$。

三、连续、偏导、可微的关系 ⭐

关系图

偏导数连续 ⇒ 可微 ⇒ 偏导数存在
                  ⇓
                 连续

严格定理表述

📌 偏导数连续 ⇒ 可微 是判断可微性最常用的充分条件（证略）。

为什么这也是”质变”？

🔴 在二元中，仅有偏导数存在远不够保证可微——还需全增量能分解为偏导线性部分 $+$ $o(\rho )$ 高阶无穷小。这是本章最大的”坑”。

四、判定可微性的操作步骤 ⭐

考试重点：对于分段函数在分段点处的可微性判定。

步骤：

Step 1：检查偏导数是否存在

分别计算 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)$ 和 $f_y^{\prime }(x_0,y_0)$（分段点处用定义）。

若任一不存在 ⇒ 不可微（结束）。

Step 2：验证定义条件（关键步骤）

计算极限：

等价形式（直接代入 $x,y$ 而非 $\Delta x,\Delta y$）：

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-[f_x^{\prime }(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y^{\prime }(x_0,y_0)(y-y_0)]}{\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}}$$

• 若该极限 = 0 ⇒ 可微
• 若该极限 ≠ 0 或不存在 ⇒ 不可微

五、经典例题

例（重要）：讨论 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$ 在 $(0,0)$ 处的可微性

Step 1：偏导数。

$f_x^{\prime }(0,0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{0}{\Delta x}=0$

同理 $f_y^{\prime }(0,0)=0$。偏导数存在 ✓

Step 2：验证可微定义。

极限：

沿 $\Delta y=k\Delta x$：$\frac{k\Delta x^2}{(1+k^2)\Delta x^2}=\frac{k}{1+k^2}$，与 $k$ 有关。

极限不存在 ≠ 0 ⇒ 不可微 ❌

📌 这个函数偏导数都存在但不可微——二元世界的经典反例。

六、全微分与原函数（了解）

全微分表达式已知，求原函数或参数

典型例题：若 $(a{x}^{2}y)dx-(x^3{y}^2)dy$ 为某二元函数的全微分，求 $a$。

方法：设 $Pdx+Qdy$ 为全微分 ⇔ $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$（混合偏导相等/次序无关定理的推论）。

全微分条件：$a{x}^2=-3x^2{y}^2$。恒成立须 $a=0$ 且 $y^2=0$ 恒成立不可……

实际上这类题目中通常 $P,Q$ 的依赖使得条件对所有 $x,y$ 成立 → 对比系数求参数。

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